Presentation

Wikipedia

Schwarz började han studera kemi i Berlin men det var inte länge innan Kummer och Weierstrass hade påverkat honom att byta till matematik. Den första av hans lärare att påverka den riktning som hans forskning så småningom skulle ta var Karl Pohlke. Genom honom Schwarz blev intresserad av geometri. Schwarz deltog Weierstrass' s Föreläsningar om integralkalkyl under 1861 och noterar att Schwarz tog på dessa föreläsningar kvarstår. Hans intresse för geometri var snart kombineras med Weierstrass' s idéer i analysen. Som Bölling skriver i:

... idéer som kommer från geometriska överväganden översattes [av Schwarz] till språket i analysen.

Han fortsatte att studera i Berlin, som kontrolleras av Weierstrass, fram till 1864 när han fick sin doktorsexamen. Hans avhandling granskades av Kummer.

Även i Berlin, Schwarz arbetat på minimal yta (ytor i minst området), en egenskap problemet med den kalkyl varianter. Plateau publicerade en berömd biografi om temat i 1866 och samma år Weierstrass inrättades en bro mellan teori om minimala ytor och teorin för analytiska funktioner. Schwarz hade lämnat ett viktigt bidrag i 1865 när han upptäckte vad som nu kallas Schwarz minimal yta. Denna minimala ytan har en gräns som består av fyra kanterna av ett regelbundet tetrahedron.

Schwarz fortsatta studier i Berlin för hans Pedagogisk examen som han avslutad senast 1867. Det året utsågs han till som en Privatdozent till universitetet i Halle. År 1869 utsågs han till som professor i matematik vid Eidgenössische Technische Hochschule i Zürich sedan, år 1875, han accepterade nomineringen till ordförandeposten i matematik i Göttingen University.

Kanske överraskande efter Schwarz lyckades Weierstrass acceptera en professur i Berlin 1892, balansen till förmån för de mest framstående universitet i Tyskland för matematik, som hade onekligen varit Berlin, började övergång till Göttingen. Det fanns flera skäl till detta. Först Schwarz misslyckats med att hålla uppe sin produktion av matematiska forskningen efter sin flytt. Bieberbach i uttryckte det ganska väl när han skrev att Schwarz pensionärer till Berlin 1892. Att så var fallet borde inte ha kommit som en fullständig överraskning för dem som utses för Schwarz hade offentliggjort sin Complete Works i 1890, två år tidigare. Boerner skriver i att:

... undervisning tullar och oro för [Schwarz s] många studenter tog så mycket av sin tid att han publicerade inte mycket mer. En bidragande faktor kan ha varit hans benägenhet för hantering av både det viktiga och det triviala med samma grundlighet, ett karaktärsdrag också tydligt i hans matematiska uppsatser.

Vi bör inte ge intrycket att det enda skälet till Berlin flyttar ner från att vara den ledande tyska universitet för matematik att bli sitt andra universitet berodde på Schwarz. Den andra effekten var Klein vars dynamiskt ledarskap i Göttingen gjorde det blomstra på bekostnad av Berlin där Frobenius och Schwarz kunde inte ge samma inspirerat förhållningssätt. Kanske det sista tecknet på att Göttingen hade gått förbi Berlin kom 1902 när Frobenius och Schwarz valde Hilbert lyckas till Berlin stol som hade blivit ledig död Fuchs. Hilbert vände ned erbjudandet och föredrog att stanna kvar i Göttingen. I Berlin stol var då fylld av Schottky men liksom Schwarz före honom, han hade flyttat till Berlin efter sina bästa dagar för matematisk forskning var bakom honom.

Schwarz fortsatt undervisning i Berlin fram till 1918. Vi skall beskriva några av hans mycket fina matematiska landvinningar på ett ögonblick, men först noterar vi att han hade flera intressen utanför matematik, trots att hans äktenskap var en matematisk en sedan han gift Kummer: s dotter. Utanför matematik han var befälhavaren på det lokala Frivilliga Brandkår och, mer överraskande, han hjälpte stationmaster på lokal järnvägsstationen genom att stänga dörrar på tågen.

Ett viktigt område som Schwarz arbetat med var att av konform avbildning. År 1870 producerade han arbetet med den Riemann mapping theorem. Även Riemann hade gett ett bevis på theorem att någon helt enkelt anslutas regionen planet kan kopplas Conformally på en skiva, hans bevis inblandade använda Dirichlet problem. Weierstrass hade visat att Dirichlet 's lösning på detta var inte konsekventa, se för mer information. Schwarz's gav en metod att Conformally karta polygonal regioner att cirkeln. Sedan, genom att ett godtyckligt helt enkelt anslutas regionen genom polygoner han kunde ge ett rigoröst bevis på Riemann mapping theorem. Schwarz gav också de alternerande metod för att lösa de Dirichlet problem som snart blev en standardiserad teknik. Denna aspekt av Schwarz arbete granskas i detalj.

Hans viktigaste arbete är en Festschrift för Weierstrass' s ^{70-årsjubileum.} Schwarz besvarade frågan om huruvida en viss minimal yta verkligen ger ett minimalt område. En idé från detta arbete, där han konstruerade en funktion med successiva approximativa lett Emile Picard att han finns bevis för lösningar av differentialekvationer. Den innehåller också den ojämlikhet för integraler nu kallas "Schwarz ojämlikhet", se för mer information.

Det faktum att Schwarz borde ha kommit med ett specialfall av det allmänna resultatet nu kallas Cauchy-Schwarz inequality (eller Cauchy - Bunyakovsky-Schwarz inequality) är inte förvånande för mycket av hans arbete kännetecknas av att titta på ganska specifika och smalt problem utan att lösa dem med metoder som till stor allmänhet som sedan fann stora ansökningar. Att han funnit sådana generella metoder säger mycket om hans stora intuition som kanske bygger på en djup känsla för geometri.

Till exempel den Cauchy-Schwarz inequality visas i aritmetiska, geometriska och funktion-teoretiska formuleringar i verk av matematiker såsom Bunyakovsky, Cauchy, Grassmann, von Neumann och Weyl. Den form i vilken ojämlikhet brukar presenteras idag:

<X + min, x + min> 0

med sina vanliga moderna bevis verkar ha varit första ges av Weyl 1918.

Vid svar på problemet med när Gauss' s hypergeometric series var en algebraisk funktion Schwarz, som han hade gjort så många gånger, utvecklat en metod som skulle leda till mycket mer allmänna resultat. Det var i detta arbete han definierat en konform avbildning av en triangel med ljusbågar i cirklar som sidorna på enheten skiva som nu är känt som "Schwarz funktion". Denna funktion är ett tidigt exempel på en automorfa funktioner och i detta arbete Schwarz var att titta på idéer som ledde Klein och Poincaré att utveckla teorin om automorfa funktioner.

Låt oss avsluta med att citera Bölling på Schwarz's karaktär. Han skriver:

Schwarz var djupt influerad av Weierstrass. Från sin korrespondens ett finner att Schwarz riktar sin lärare ofta med en noggrannhet som går i minsta detalj, ibland nästan blygsamt. Schwarz's uppförande har beskrivits som naiva, dramatiska, grovt. Trots att ge intryck av självförtroende, han var faktiskt lite osäker och dessutom inte effektivt i näringslivsrelaterade frågor.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland