Schubert gav upp en del av varje söndag för att arbeta på geometri med skolpojke Hurwitz, och den första av dennes skrifter, skrivna då han fortfarande var vid Andreanum, var ett gemensamt papper. Det var också Schubert som övertalas Hurwitz far att låta honom gå till universitetet och som sände honom med varma rekommendationer till Klein i München.

Vi noterar att detta första papper av Hurwitz, skriven tillsammans med Schubert, var på Chasles' s theorem. Salomon Hurwitz inte skulle ha råd att skicka sin son till universitetet, men hans vän, herr Edwards, gått med på att hjälpa till ekonomiskt, så gör ett universitet karriär för Hurwitz möjligt. Han kom in på universitetet i München 1877, innan han var arton år och tillbringade ett år deltar i föreläsningar av Klein. Även om han var starkt präglat av Klein och hade redan börjat genomföra avancerade arbeta med honom, han gick för läsåret 1877-78 att fortsätta sina studier vid universitetet i Berlin där han deltog klasser av Kummer, Weierstrass och Kronecker. Särskilt deltog han i en termin kursen genom Weierstrass Introduktion till teorin för analytiska funktioner och anteckningar som tagits av Hurwitz just nu återges i boken. De föreläsningar som ingår Weierstrass' s version av arithmetisation av analys inklusive hans "bygget" av det verkliga antalet, och förhållningssätt till analys och hans teorier om komplexa funktioner bygger på makt-serien.

Även i Berlin Hurwitz fortsatte att hålla kontakt med Klein och bistod honom med ett papper i elliptiska modulära funktioner som han skriver. Efter tre terminer vid universitetet i Berlin, Hurwitz återvände till universitetet i München under 1879 att fortsätta arbeta med Klein, så när Klein flyttade till universitetet i Leipzig i oktober 1880, Hurwitz gick med honom. Hans doktorsexamen övervakades av Klein och han fick examen i 1881 för sin avhandling om elliptiska modulära funktioner Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen 1. Stufe.

Det hade varit naturligt för Hurwitz att bli Privatdozent vid universitetet i Leipzig, eftersom han var en student av Klein, professor i matematik där. Men det fanns en svårighet - Hurwitz inte hade tillräckliga kunskaper i grekiska att tillgodose fakulteten krav! Lyckligtvis Göttingen hade inget sådant krav och Hurwitz blev Privatdozent vid universitetet i Göttingen efter att ha lagt sin habilitering avhandling där i 1882. Hurwitz inte hade varit i München under 1881-82, snarare hade han återvände till Berlin där han deltog ytterligare kurser av föreläsningar av Weierstrass och Kronecker.

År 1884 Hurwitz accepterade en inbjudan från Lindemann att bli en utomordentlig professor i Königsberg och han stanna kvar där i åtta år. Här har han lärt Hilbert och Minkowski, blir en livslång vän till Hilbert. Även efter Minkowski vänster universitetet i Königsberg och gick till Bonn han ändå återvänt till Königsberg för varje semester och gick Hurwitz och Hilbert i sina nästan dagliga promenader:

Under dessa promenader, fortsatte under hela den åtta år av Hurwitz är bosatt i Königsberg, nära nog varje hörn av den då kända matematiska världen var undersökas.

I Königsberg Hurwitz träffade Ida Samuel, dotter professor vid Medicinska fakulteten, och de gifte sig, äktenskapet produceras tre barn. År 1892 Frobenius lämnade sin stol vid Eidgenössische Polytechnikum Zürich för att återvända till Berlin och Hurwitz utsågs till ledig stol i Zürich. Hurwitz kvar på Zürich för resten av sitt liv, tyvärr ständigt lider av ohälsa. Hans hälsa problemen hade börjat när han fick tyfus i München när han var student där. Sjukdomen spridning även om staden på den tiden. Faktum han två gånger kontrakterad tyfus och därefter drabbats hårt av migrän huvudvärk.

Även om, vilket vi har påpekat, Hurwitz kvar på Zürich för resten av sitt liv, det var inte därför han inte hade erbjudits i stolen i Tyskland. Schwarz, som var professor i Göttingen, lyckades Weierstrass genom att acceptera hans professur i Berlin 1892. Göttingen närmade Hurwitz och erbjöd honom den lediga stolen bara veckor efter att han hade accepterat Zürich stol, men han vände ned erbjudandet. Detta måste ha varit synnerligen svårt beslut för Hurwitz sedan på den tiden en stol vid ett ledande tyskt universitet som Göttingen hade varit mycket mer prestigefyllda till alla tyska än en stol i Schweiz. Men Hurwitz var en mycket lojal person, och som har gett sitt ord på att han skulle acceptera Zürich position han inte skulle svika sitt löfte.

Mycket av Hurwitz's matematik kan ses som att vara starkt influerad av Klein (och även av Riemann vars idéer där överlämnas till Hurwitz via Klein). Faktum Hurwitz och Klein kompletterade varandra oerhört väl av de skäl som unga anger i:

Klein styrka ... ibland betraktas som bestående ännu mer i bördighet och [geni] av hans idéer än i de makt att utveckla dem.

Här sedan var Hurwitz styrka - i u Klein 's idéer:

Klein s nya syn på modulära funktioner, enar geometriska aspekter såsom grundläggande domän med grupp teori redskap såsom kongruens undergrupper och med topologiska begrepp som släktet av Riemann yta, var fullt utnyttjade av Hurwitz.

Hurwitz studerat släktet av Riemann surface. Han arbetade på hur man härleda klass antalet förbindelser från modulära ekvationer. Han undersökte automorfa grupper av algebraiska Riemann ytor av släktet större än 1, som visar att de var begränsade. Han har också studerat invariant integraler för SO (n, R) och SL (n, R) och Slodowy beskriver hur detta arbete, tillsammans med Schur: s arbete på orthogonality förbindelser och karaktär formeln för rätvinkliga grupper, ledde till Weyl s uppsatser om representation theory of semisimple Lie grupper.

Ytterligare frågor som studeras av Hurwitz omfatta komplexa funktion teori, rötter Bessel funktioner och differensekvationer. Han skrev också flera avhandlingar om Fourierserier. Strax efter han gick till Zürich han ställde en fråga till Aurel Stodola, en av hans kolleger, om när ett n: e gradens polynom med reella koefficienter

f (x) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n -1} + ... + A _n

med positiva ledande koefficient a _0> 0 endast har rötter med negativa verkliga delar. Hurwitz löst detta problem helt och visar att de villkor som hölls om och endast om en viss sekvens av bestämningsfaktorer är alla positiva. Han publicerade detta i 1895 i uppsatsen über die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt som dök upp i Mathematische Annalen 1895. Detta anmärkningsvärt inflytelserika papper var omtryck 100 år senare i arbetet i Hurwitz Symposium on Stability teori i Ascona 1995. Det utmärkta recension verkar i målet av samma symposium, och i uppsatsen uppkomst av Hurwitz's version av den välkända stabilitet kriterium beskrivs i detalj.

Hurwitz gjorde ett utmärkt arbete i algebraisk talteori. Till exempel publicerade han en uppsats om en faktorisering teori för heltal quaternions 1896 och tillämpat det på problemet med representerar ett heltal som summan av fyra rutor. En full styrka Hurwitz idéer finns i en broschyr som publicerats under året för dödsfallet. Detta innebär att studera ringen av heltal quaternions där det finns 24 enheter. Han visar att ensidiga ideal är huvudman och introducerar främsta och huvudsakliga quaternions.

Det papper som Lindström visar en annan aspekt av Hurwitz arbete. Här är en del av Lindström sammanfattning:

År 1893 den svenska aktuarie och matematik historikern Gustaf Eneström offentliggjort ett theorem om komplexa rötter av vissa polynom med reella koefficienter i ett papper om pensionsförsäkring (på svenska). Detta resultat är nu ofta kallas Eneström-Kakeya teorem, eftersom S Kakeya publicerade ett liknande resultat under 1912-1913. Men Kakeya's theorem innehöll ett misstag, vilket korrigeras genom en Hurwitz 1913. Hurwitz informeras E Landau om Kakeya s träff (korrigerad), Landau behövs det resultera i ett bevis på ett theorem om oändlig makt serien. ... Vi nämner en generalisering av Eneström sats och ge en ansökan till ett liknande resultat genom Hurwitz.

Migrän var inte omfattningen av Hurwitz's hälsoproblem som blev allt allvarligare. Hans njurar blev sjuka och han hade ett bort i 1905. Med bara en njure, och att en inte fungerar ordentligt, kvaliteten av sitt liv var mycket dålig. Young skriver att:

... sitt liv [var] en lång kamp med en wasting disease. Att denna kamp har fört med jämförande framgång under så många år verkar nästan otroligt, och kan endast redovisas av ständig vård och hängivenhet på [hans] hustru.

I Hilbert: s synpunkter på Hurwitz som en person registreras:

Hilbert skildrat honom som en harmonisk anda, en klok filosof, en blygsam, ambitiöst mannen, en älskare av musik och amatör pianist, en vänlig anspråkslös man vars livfulla ögon avslöjade hans anda.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland